Question

（本题满分12分）

如图，已知直平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．

（I）求证：A₁D⊥平面BDE；

（II）求二面角B―DE―C的大小；

（III）求点B到平面A₁DE的距离    

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析；(2)∠BNM=arctan (10’)(3)BN==a 。

【解析】(1)因为A₁D⊥BE,再根据AD⊥BD,,所以,

所以，因而,问题得证.

(2)作出二面角的平面角是解题的关键，具体做法取CD中点M，连BM，则BM⊥平面CD₁，作MN⊥DE于N，连NB，则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角，然后解三角形求角即可.

(3)在（2）的基础上，易证BN长就是点B到平面A₁DE的距离,因而可得BN==a.

(1)∵AA₁⊥面ABCD，∴AA₁⊥BD，

又BD⊥AD，∴BD⊥A₁D        (2’)

又A₁D⊥BE，

∴A₁D⊥平面BDE                (3’)

(2)连B₁C，则B₁C⊥BE，易证RtΔCBE∽RtΔCBB₁，

∴=，又E为CC₁中点，∴BB₁²=BC²=a²，

∴BB₁=a          (5’)

取CD中点M，连BM，则BM⊥平面CD₁，作MN⊥DE于N，连NB，则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角                (7’)

RtΔCED中，易求得MN=，RtΔBMN中，tan∠BNM==，∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易证BN长就是点B到平面A₁DE的距离    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另解：以D为坐标原点，DA为x轴、DB为y轴、DD₁为z轴建立空间直角坐标系

则B(0,a,0)，设A₁(a,0,x)，E(-a,a, )，=(-a,0,-x)，=(-a,0, )，∵A₁D⊥BE

∴a²-x²=0，x²=2a²，x=a，即BB₁=a.