Question

如图，F₁、F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线与的左、右两支分别交于B，A两点．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A、y=±

  15

  x
• B、y=±

  6

  x
• C、y=±

  3

  3

  x
• D、y=±

  2

  x

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等边三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c²=7a²，结合双曲线渐近线方程即可的结论．

解答： 解：根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，
解得c²=7a²，则b=

c2-a2

=

6a2

=

6

a，
由此可得双曲线C的渐近线方程为y=±

b

a

x=±

6

x，
故选：B

点评：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．