Question

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据离心率为，可设，则，利用经过点A（2，1）可得，从而可求椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），与椭圆方程联立，利用韦达定理及用坐标表示向量，即可确定的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由离心率为，可设，则
因为经过点A（2，1）
所以，解得，所以a²=6，b²=3
所以椭圆方程为…（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），
直线l与椭圆的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）…（5分）
由，消元整理得：（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0…（7分）
△=（12k²）²-4（1+2k²）（18k²-6）＞0得 0≤k²＜1…（8分）
，…（9分）
∴=（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂…（10分）
=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]==…（11分）
因为0≤k²＜1，所以
所以的取值范围是（2，3]．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理进行解题．