Question

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为k_AM和k_AN，求证：k_AM+k_AN为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据离心率和（2，1）点代入椭圆方程可求得a和c，进而求得b，方程可得．
（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-3），联立直线与椭圆的方程，消去y得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△＞0，可得-1＜k＜1．再用坐标表示出即可求的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）用坐标表示出k_AM+k_AN化简即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，解得，．故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-3），
由得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．
设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则，，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
所以
=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]==．
因为-1＜k＜1，所以．
故的取值范围为（2，3]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得k_AM+k_AN=
==
==．
所以k_AM+k_AN为定值-2．
点评：本题主要考查了椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，利用直线与椭圆方程联立，借助于根与系数的关系，从而使问题得解．