Question

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，设直线AM和直线AN的斜率分别为k_AM和k_AN，求证：k_AM+k_AN为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意得，由此能求出椭圆C的方程中参数a，b的值．
（Ⅱ）由题意可设直线l方程为y=k（x-3），由得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．由此入手能够证明k_AM+k_AN为定值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得（2分）
解得，．      （4分）
故椭圆C的方程为．     （5分）
（Ⅱ）由题意可设直线l方程为y=k（x-3），
由得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．（7分）
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．…（8分）
设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则，，（10分）
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
所以k_AM+k_AN=（12分）
=
=
=
=．
所以k_AM+k_AN为定值-2．            （14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和证明k_AM+k_AN为定值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．