Question

7．已知函数$g（x）=\frac{{{4^x}-a}}{2^x}$是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设$h（x）=f（x）+\frac{1}{2}x$，若存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的奇偶性的性质求得a、b的值，可得a+b的值．
（2）由条件利用函数的单调性求得3t²-2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，求得3t²-2t的最小值，可得k的范围．
（3）由题意可得存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，求得g（x）的最大值，可得a的范围．

解答 解：（1）由g（0）=0得a=1，则$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}$，经检验g（x）是奇函数．
由f（-1）=f（1）得$b=-\frac{1}{2}$，则$f（x）=lg（{10^x}+1）-\frac{1}{2}x$，经检验f（x）是偶函数，
∴$a+b=\frac{1}{2}$．
（2）∵$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}={2^x}-\frac{1}{2^x}$，且g（x）在（-∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．
∴由g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，得g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k），
∴t²-2t＞-2t²+k，t∈[0，+∞）恒成立，
即3t²-2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，
令F（x）=3t²-2t，在[0，+∞）上F（x）的最小值为$F（\frac{1}{3}）=-\frac{1}{3}$，∴$k＜-\frac{1}{3}$．
（3）h（x）=lg（10^x+1），h（lg（10a+9））=lg[10^{lg（10a+9）}+1]=lg（10a+10），
则由已知得，存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，
而g（x）在（-∞，1]单增，∴${g_{max}}（x）=g（1）=\frac{3}{2}$，
∴$lg（10a+10）＜\frac{3}{2}=lg{10^{\frac{3}{2}}}={lg^{10\sqrt{10}}}$，∴$10a+10＜10\sqrt{10}$．
又$a＜\sqrt{10}-1$，
∵$\left\{\begin{array}{l}10a+9＞0\\ 10a+10＞0\end{array}\right.$，∴$a＞-\frac{9}{10}$，
∴$-\frac{9}{10}＜a＜\sqrt{10}-1$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性，函数的恒成立与能成立问题，属于中档题．