Question

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴

PC

=(-2，4，-4)，

BD

=(-2，-1，0)，
∴

PC

•

BD

=0
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证

BD

为面PAC的法向量，
设面PBC的法向量n=（a，b，c），

PB

=(0，1，-4)，

BC

=(-2，3，0)
所以

n • PB =0 n • BC =0

?

b=4c a=6c

所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-

16

265

．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B-PC-A的余弦值为

16

265

．