Question

4．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧棱AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AB=2，AD=5，BC=1，侧棱AA₁=4．
（1）求证：CD⊥平面AA₁C
（2）若E是AA₁上一点，试确定E点位置使EB∥平面A₁CD．

Answer 1

分析 （1）以AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，由$\overrightarrow{C{A}_{1}}$•$\overrightarrow{CD}$=0，即可证CD⊥CA₁，又侧棱AA₁⊥底面ABCD，且CD?底面ABCD，可证AA₁⊥CD，AA₁∩CA₁=A₁，从而由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面AA₁C．
（2）当E为AA₁四等分点时，即A₁E=$\frac{1}{4}$AA₁时，EB∥平面A₁CD．建立空间直角坐标系，确定E点坐标，即可得出结论；

解答 解：（1）根据已知，以AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则可得各点坐标：A（0，0，0），
B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，5，0），A₁（0，0，4），
从而可得：$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-2，-1，4），$\overrightarrow{CD}$=（-2，4，0），
故有：$\overrightarrow{C{A}_{1}}$•$\overrightarrow{CD}$=0，即CD⊥CA₁，
又侧棱AA₁⊥底面ABCD，且CD?底面ABCD，故AA₁⊥CD，AA₁∩CA₁=A₁，
可得：CD⊥平面AA₁C…（6分）
（2）由E是AA₁上一点，可设E点坐标为（0，0，z）（0＜z＜4），
则$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，z），∵EB∥平面A₁CD，不妨设$\overrightarrow{BE}$=x$\overrightarrow{C{A}_{1}}$+y$\overrightarrow{CD}$，
∴（-2，0，z）=x（-2，-1，4）+y（-2，3，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-2x-2y}\\{0=-x+3y，z=4x}\end{array}\right.$解得z=3．
所以当E点坐标为（0，0，3）即E为AA₁且靠近A₁的四等分点时，
EB∥平面A₁CD…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查了空间向量及应用，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量是关键，属于中档题．