Question

已知方程e^x-2x=-a有实数解，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．

解答： 解：令f（x）=e^x-2x+a，
则f′（x）=e^x-2，可得f′（x）=0的根为x₀=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（-∞，ln2）上为减函数；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，
∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2-2ln2+a，
并且这个极小值也是函数的最小值，
由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2-2ln2+a≤0，可得a≤2ln2-2，
故答案为：（-∞，2ln2-2]．

点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解．