Question

【题目】设函数，其中、为已知实常数，.

下列所有正确命题的序号是____________．　

①若，则对任意实数恒成立；

②若，则函数为奇函数；

③若，则函数为偶函数；

④当时，若，则.

Answer 1

【答案】①②③④.

【解析】

对于①，由，证明函数既是奇函数又是偶函数即可得出；

对于②，根据奇函数的定义可得出结论；

对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；

对于④，根据得

，于此得出结论.

对于命题①，若，则，

则

，

函数为奇函数，

若，则

，

，

函数为偶函数，

若，则函数既是奇函数，又是偶函数，即，命题①正确；

对于命题②，由①的证明过程可知，当时，函数为奇函数，命题①正确；

对于命题③，由①的证明过程可知，当时，函数为偶函数，命题②正确；

对于命题④，当时，

，

令，

，则，

由辅助角公式得，

其中，，

，则、是函数的两个对称中心点，

函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，

因此，，命题④正确.

故答案为：①②③④.