题目内容

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。

（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；
（3）求点A到面EFG的距离。

解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0），
（1）证明：∵=（0，1，0），=（0，0，2），=（2，0，0），
∴·=0×0+1×0+0×2=0，·=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB，
又∵AP、AB面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB，
又EF面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAB。
（2）∵，
∴。
（3）设平面EFC的法向量=（x，y，z），
则，∴，
令z=0，得=（1，0，1），
又=（0，0，1），
∴点A到平面EFG的距离
练习册系列答案
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如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求二面角P-CD-B的大小；
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如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．
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（Ⅱ）若二面角P-CD-B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离．
如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB=2，BC=
2
，PB=
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（1）证明：面PAC⊥平面PBC
（2）求二面角P-BC-A的大小
（3）求点A到平面PBC的距离．
（2010•天津模拟）如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点
F是PB的中点，点E在边BC上移动，
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
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如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；
（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．