Question

（本小题满分14分）（注意：仙中、一中、八中的学生三问全做，其他学校的学生只做前两问）
已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．

Answer 1

（Ⅰ） 的单调递增区间是，的单调递减区间是．
（Ⅱ）实数的取值范围是．（Ⅲ）见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）因为由得，所以．然后根据导数的符号判定单调性得到及结论
（2）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．然后求解导数，分析得到参数的范围。
（3），
，
运用放缩法得到结论。
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．（6分）（3分）
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．（8分）（5分）
由得．
①当时，．此时在上单调递增．
故，符合题意． （10分）（7分）
②当时，．当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．
依题意，，又．（13分）（9分）
综合①，②得，实数的取值范围是．（14分）（10分）
（Ⅲ），
，
，

由此得，

故．（（14分）