Question

【题目】四棱锥与直四棱柱组合而成的几何体中，四边形是菱形，，，，，交于，平面，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）动点在线段上（包括端点），若二面角的余弦值为，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）在矩形中，根据，得，可证，又根据为正三角形及面面垂直性质定理可证平面，即得，由此可证明平面；

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设出点Q坐标，由二面角的余弦值为，可解出Q，即可求的长度.

（1）矩形中，，

，

.

四边形是菱形，且，

，

为正三角形.

为的中点，

.

平面，

，

，

平面.

（2）以为原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设Q，，

则，

平面的一个法向量为，

则，

取，则.

同理求得平面的一个法向量为.

代入

化简即为，

由，可得，

故与重合，.