Question

已知向量 

a

=(2，sinx)，

b

=(sin2x，2cosx)，函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（II）若在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足：(

2

a-c)cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量 

a

=(2，sinx)，

b

=(sin2x，2cosx)，利用平面向量的数量积公式，我们可以求出函数f（x）=

a

•

b

的解析式，并利用降幂公式（二倍角公式逆用），及辅助角公式，我们可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数性质，求出f（x）的单调增区间；
（II）由正弦定理的推论--边角互化，我们可将条件(

2

a-c)cosB=bcosC，化为(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC的形式，进而求出A的取值范围，结合（I）中所得的正弦型函数的性质，得到f（A）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1…（3分）
当-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z时，
即-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z时，f（x）是单调递增．…（5分）
所以，f（x）的单调递增区间是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得：(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

2

sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA
即

2

sinAcosB=sinA…（8分）
由0＜A＜π，sinA≠0得：cosB=

2

2

，又∵0＜B＜π，∴B=

π

4

…（10分）
又A+C=

3π

4

，得：0＜A＜

3π

4

，…（11分）
∵f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)+1，-

π

4

＜2A-

π

4

＜

5π

4

f(A)min＞

2

•(-

2

2

)+1=0，f(A)max=

2

+1
∴f（A）的取值范围是(0，

2

+1]…（14分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，正弦定理，是三角函数与向量比较综合性的考查，有一定的难度，其中根据已知条件及向量的数量积公式，结合利用降幂公式（二倍角公式逆用），及辅助角公式，函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式是解答本题的关键．