Question

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及特征向量．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，
（2）令矩阵M的特征多项式等于0，即可求得矩阵M的特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
解答：解：（1）矩阵的行列式为=8-3=5，
∴求矩阵M的逆矩阵M^-1=．…（4分）
（2）矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f（λ）==λ²-6λ-5，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1或5，…（6分）
当λ=1时 由二元一次方程得x+y=0，令x=1，则y=-1，
所以特征值λ=1对应的特征向量为=．…（8分）
当λ=5时 由二元一次方程得3x-y=0，
令x=1，则y=3，
所以特征值λ=5对应的特征向量为=．…（10分）
点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵M的特征值及特征向量，关键是求其行列式，正确写出矩阵M的特征多项式．