(1)选修4-2:矩阵与变换若矩阵A有特征值λ1=2.λ2=-1.它们所对应的特征向量分别为．(I)求矩阵A,(II)求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．(2)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为为参数).C2的参数方程为为参数)(I)若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半.分别得到曲线C′1和C′2.求出曲线C′1和C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

为参数），C₂的参数方程为

为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若

的定义域为R，求实数m的取值范围．

【答案】分析：（1）（I）设A=（

），由A

=λ₁

，A

=λ₂

可求得a，b，c，d；
（II）设曲线x²+y²=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），由

，可求得x与x′，y与y′之间的关系，从而可得新曲线方程；
（2）（I）消掉C₁：

为参数）与C₂：

为参数）中的参数，可求得其普通方程；
（Ⅱ）依题意可知，在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C₂垂直的直线方程为y=-x，由tanθ=1可转化为极坐标方程；
（3）（I）通过对x分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组，即可求得不等式f（x）≤5的解集；
（II）g（x）=

的定义域为R?f（x）+m≠0恒成立?f（x）+m=0在R上无解，利用绝对值函数的几何意义可求得f（x）的最小值，从而可求得m的范围．
解答：解：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
（I）设A=（

），由A

=λ₁

，A

=λ₂

得：

，

=-1×

，
∴

，故A=

…4分
（II）设曲线x²+y²=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），则

，即

，
∴

，从而

+（-y′）²=1，即

+y′²=1，
∴新曲线方程为

+y²=1…7分
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
∵（Ⅰ）C₁：

为参数），C₂：

为参数，
∴C₁的普通方程为x²+y²=1，C₂的普通方程为y=x-1…4分
（Ⅱ）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C₂垂直的直线方程为y=-x，
在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=

或θ=

…7分
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）

或

，
∴不等式的解集为x∈[-

，

]…4分
（Ⅱ）若g（x）=

的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，
∴f（x）的最小值为2，
∴m＜-2…7分．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查特征值与特征向量的计算，考查参数方程化成普通方程，考查抽象思维与转化能力，考查综合分析与运算能力，属于难题．