Question

已知函数 (R)．
(1) 当时，求函数的极值；
（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为-6.（Ⅱ）a的取值范围是．

（1）当时，，
∴.                    
令="0," 得.                                   …… 2分                   
当时,, 则在上单调递增;
当时,, 则在上单调递减;
当时,, 在上单调递增.                     
∴当时, 取得极大值为;
当时, 取得极小值为.       …… 5分
（2） ∵= ，
∴△= =  .                             
①若a≥1，则△≤0，                                          …… 6分
∴≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增 .                                                   
∵f（0），,                  
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．       …… 8分 
②若a＜1，则△＞0，
∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁<x₂）．
∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  
当变化时，的取值情况如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

                              …… 9分
∵,
∴.
∴


.
同理.
∴


.
令f（x₁）·f（x₂）＞0, 解得a＞．                                    
而当时,,
故当时,函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.        …… 11分                            
综上所述，a的取值范围是．                               …… 12分