Question

6．已知函数y=2sin（$\frac{π}{3}$-2x），
（1）求函数的周期；
（2）求函数单调增区间；
（3）求函数在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）化函数为y=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$），求出函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{|ω|}$；
（2）由正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调增区间；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]求得函数f（x）的值域即可．

解答 解：（1）函数y=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的周期为T=$\frac{2π}{|ω|}$=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z；
$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）单调增区间为[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得2x∈[0，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域是[-2，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．