Question

已知

π

4

＜α＜β＜

π

2

，且sin(α+β)=

4

5

，cos(α-β)=

12

13

，求sin2α，cos2β，tan2β的值．

Answer 1

分析：根据α和β的范围，分别求出α+β和α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）和sin（α-β）的值，由2α=（α+β）+（α-β），利用两角和的正弦函数公式化简sin[（α+β）+（α-β）]，然后把相应的值代入可求出sin2α的值；由2β=（α+β）-（α-β），利用两角差的余弦函数公式及两角差的正切函数公式分别表示出cos[（α+β）-（α-β）]和tan[（α+β）-（α-β）]，把相应的值代入即可求出cos2β与tan2β的值．

解答：解：∵

π

4

＜α＜β＜

π

2

，∴

π

2

＜α+β＜π，-

π

4

＜α-β＜0，
∴cos（α+β）=-

3

5

，sin（α-β）=-

5

13

，tan（α+β）=-

4

3

，tan（α-β）=-

5

12

，
则sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）
=

4

5

×

12

13

+（-

3

5

）×（-

5

13

）
=

63

65

；
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=（-

3

5

）×

12

13

+

4

5

×（-

5

13

）
=-

56

65

；
tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]
=

tan(α+β)-tan(α-β)

1+tan(α+β)tan(α-β)

=

- 4 3 -(- 5 12 )

1+(- 4 3 ) ×(- 5 12 )

=-

33

56

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦及正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，灵活变换角度，熟练掌握公式是解本题的关键．