题目内容

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n= $数学公式$ ；数列满足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9项和为153
（1）{b_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{c_n}的前n项和，c_n= $数学公式$ ，求使不等式T $数学公式$ 对?n∈N₊都成立的最大正整数k的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴当n=1时，a₁=S₁=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =n+5
经验证，当n=1时，上式也适合，
∴a_n=n+5；
∵b_n+2=2b_n+1-b_n，∴ $\text{[math]}$ ，
∴{b_n}是等差数列，设其公差为d．
则 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）∵c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴T_n=（1 $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）=1 $\text{[math]}$
∵n∈N₊，∴T_n是单调递增数列，
∴当n=1时，（T_n）_min=T₁=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 对?n∈N₊都成立，等价于（T_n）_min $\text{[math]}$ 成立，
即 $\text{[math]}$ ，解得k＜38
∴所求最大正整数k的值为37．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 可知，当n=1时，a₁=S₁=6；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5，可得{a_n}的通项，又由已知可得 $\text{[math]}$ ，即{b_n}是等差数列，设其公差为d．有 $\text{[math]}$ 可解得 $\text{[math]}$ ，可得通项；
（2）把（1）的结果代入可得 $\text{[math]}$ ，由列项相消法可得T_n，进而可求得T_n的最小值，只需其最小值（T_n）_min $\text{[math]}$ 成立即可，解之可得．
点评：本题为数列和不等式的综合应用，涉及求数列的通项，数列的求和以及恒成立问题，属中档题．