题目内容

设A₁、A₂是椭圆 $数学公式$ =1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：由已知中A₁、A₂是椭圆 $\text{[math]}$ =1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则P₁、P₂的横坐标相等，纵坐标相反，故设p₁（x，y），则p₂（x，-y），由椭圆的参数方程，分别求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程（含参数θ），联立方程后，消去参数θ即可得到满足条件的曲线方程．
解答：设p₁（x，y），则p₂（x，-y）
p₁，p₂在椭圆 $\text{[math]}$ 上，
则x=3sinθ，y=2cosθ
则A₁P₁的方程为 $\text{[math]}$ ①
A₂P₂的方程为 $\text{[math]}$ ②
Q（x，y）为A₁P₁，A₂P₂的交点．联立方程①，②得x=cscθ，y=2ctgθ
消去θ可得 $\text{[math]}$
故选C
点评：本题考查的知识点是轨迹方程，椭圆的简单性质，其中根据椭圆的参数方程，求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程，进而求出两条直线交点的坐标，是解答本题的关键．

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A B

C D