Question

设A₁、A₂是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为（　　）

• A、

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• B、

  y2

  9

  +

  x2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  -

  y2

  4

  =1
• D、

  y2

  9

  -

  x2

  4

  =1

Answer 1

分析：由已知中A₁、A₂是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则P₁、P₂的横坐标相等，纵坐标相反，故设p₁（x，y），则p₂（x，-y），由椭圆的参数方程，分别求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程（含参数θ），联立方程后，消去参数θ即可得到满足条件的曲线方程．

解答：解：设p₁（x，y），则p₂（x，-y）
p₁，p₂在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，
则x=3sinθ，y=2cosθ
则A₁P₁的方程为

-3-x

0-y

=

3sinθ+3

2cosθ

①
A₂P₂的方程为

3-x

0-y

=

-3sinθ+3

2cosθ

②
Q（x，y）为A₁P₁，A₂P₂的交点．联立方程①，②得x=cscθ，y=2ctgθ
消去θ可得

x2

9

-

y2

4

=1
故选C

点评：本题考查的知识点是轨迹方程，椭圆的简单性质，其中根据椭圆的参数方程，求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程，进而求出两条直线交点的坐标，是解答本题的关键．