Question

已知函数f(x)＝e^x－x－1，g(x)＝x²e^ax.

(1)求f(x)的最小值；

(2)求g(x)的单调区间；

(3)当a＝1时，对于在(0,1)中的任一个常数m，是否存在正数x₀使得f(x₀)>g(x₀)成立？如果存在，求出符合条件的一个x₀；否则说明理由．

Answer 1

解：(1)f(x)的定义域是R，

f′(x)＝e^x－1，

且在(－∞，0)上f′(x)<0，在(0，＋∞)上f′(x)>0，

所以f(x)_min＝f(0)＝0.

(2)g′(x)＝2xe^ax＋ax²e^ax＝(2x＋ax²)e^ax.

①当a＝0时，若x<0，则g′(x)<0，若x>0，则g′(x)>0.

所以当a＝0时，函数g(x)在区间(－∞，0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数．

②当a>0时，由2x＋ax²>0，解得x<－或x>0，

由2x＋ax²<0，解得－<x<0.

所以当a>0时，函数g(x)在区间内为增函数，

在区间内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数．

③当a<0时，由2x＋ax²>0，解得0<x<－，

由2x＋ax²<0，解得x<0或x>－.

所以当a<0时，函数g(x)在区间(－∞，0)内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数．

(3)假设存在这样的x₀满足题意，则

f(x₀)>g(x₀)，ex₀－x₀－1>xex₀，x＋－1<0，(*)

要找一个x₀>0，使(*)式成立，只需找到当x>0时，函数h(x)＝x²＋－1的最小值h(x)_min<0即可，

h′(x)＝x，

令h′(x)＝0得e^x＝，则x＝－ln m，取x₀＝－ln m，

当0<x<x₀时，h′(x)<0，当x>x₀时，h′(x)>0，

所以h(x)_min＝h(x₀)＝h(－ln m)＝(ln m)²－mln m＋m－1.

下面只需证明：当0<m<1时，(ln m)²－mln m＋m－1<0成立即可，

令p(m)＝(ln m)²－mln m＋m－1，m∈(0,1)，

则p′(m)＝(ln m)²≥0，从而p(m)在m∈(0,1)时为增函数，则p(m)<p(1)＝0，从而(ln m)²－mln m＋m－1<0得证．

于是h(x)的最小值h(－ln m)<0，因此可找到一个正常数x₀＝－ln m(0<m<1)，使得f(x₀)>g(x₀)成立．