Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间与最值；

（2）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围．（其中为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）单调增区间是；单调减区间是，，无最小值；（2）

【解析】

（1）求出后讨论其符号可得函数的单调区间和最值.

（2）原方程等价于在区间内有两个不相等的实根，也就是函数与的图象在区间内有两个不同交点，结合（1）中函数的单调性可得实数的取值范围.

（1）∵，， ∴ ，

∴令，即，解得：.

令，即，解得：，

∴函数的单调增区间是；单调减区间是，

∴当时，，无最小值.

（2）∵方程在区间内有两个不相等的实根，

∴方程在区间内有两个不相等的实根，

∴函数与的图象在区间内有两个不同交点，

又由（1）知函数在上单调递增；在上单调递减 ，

∴当时，，，

又，∴，

∴，∴，

∴实数的取值范围为.