Question

如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1，

又∵＝(a＋c)·(a－c)＝a²－c²＝1.

∴a²＝2，b²＝1.

故椭圆的方程为＋y²＝1.

(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.

于是设直线l为y＝x＋m，由

得3x²＋4mx＋2m²－2＝0，

x₁＋x₂＝－m，①

x₁x₂＝.②

又y_i＝x_i＋m(i＝1,2)，

∴x₁(x₂－1)＋(x₂＋m)(x₁＋m－1)＝0，

即2x₁x₂＋(x₁＋x₂)(m－1)＋m²－m＝0.

将①②代入得

解得m＝－或m＝1，经检验m＝－符合条件．

故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，直线l的方程为y＝x－.