Question

如图,中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.

（1）证明:;
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）利用定义法或向量法求二面角

试题分析：

(1)证法一: 连接                    1分
由题意知,点分别为和的中点,
.                               3分
又平面,平面,   5分
平面.                    6分
证法二:取中点,连,而 分别为与的中点,
,   2分
,, ,
同理可证               4分
又 平面//平面.   5分
平面，平面.     6分
证法三(向量法):以点为坐标原点,分别以直线
为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.

于是
,,

向量是 平面的一个法向量   2分
，  4分
又                         5分
平面.                 6分
(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线
为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.
于是,,  8分
由(1)知是平面的一个法向量, .   10分
设平面的法向量为,,,
,
                12分
设向量和向量的夹 角为,则
  13分
二面角的的正弦值为  14分
解法二(几何法):如图,将几何体补形成一 个正方体,连交于点,连,

显然,,都在同一平面上.…………7分
易证,,
平面,平面,
,又
平面.
取中点,连,
分别是的中点
,
平面,   …………9分
且为垂足,即平 面,过点作于,
过作交于,连,
则即是所求二面角的补角. …………11分
在中,,
,,
在中，,
又
在中，， …………12分
. …………13分
所求二面角的正弦值为 …………14分
点评：高考中对立体几何解答题的考查一般都体现为一题两法(同一题两种解法：传统法与向量法).而运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上，它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题，淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法，强化了代数运算，从而降低了思维难度，且思路明确，过程较为程序化.