Question

如图，四边形与均为菱形，，且.

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）连结FO.由四边形ABCD为菱形，得，且O为AC中点.
根据FA=FC，得到.. 
（Ⅱ）由四边形与均为菱形，
得到得出
平面， .
（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值为.

试题分析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.
因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.
又FA=FC，所以.             2分
因为，
所以.                               3分
（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，
所以
因为
所以
又，
所以平面
又
所以.              6分
（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形．
因为为中点，所以由（Ⅰ）知，故
.
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，，则BD=2，所以OB=1，.
所以.      8分
所以.
设平面BFC的法向量为则有  所以
取，得.      12分
易知平面的法向量为.
由二面角A-FC-B是锐角，得
.
所以二面角A-FC-B的余弦值为.    14分

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。