Question

（本题12分）在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4 a_n-3n+1，n∈N^*.

（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；（3）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立。

Answer 1

(Ⅰ) 见解析   (Ⅱ) S _n=  （Ⅲ）见解析

解析:

（1）证明：由题设a_n+1=4 a_n-3n+1，得a_n+1  ^_（n+1）=4 (a_n-n), n∈N^*，

        又a₁-1=1，所以数列{ a_n-n }是首项为1，且公比为4的等比数列。

       （2）由（1）可知a_n - n=4 ^n-1，于是数列{ a_n}的通项公式为a_n= 4 ^n-1+n，

        所以数列{a_n}的前n项和为S _n=。

       （3）证明：对任意的n∈N^*，

       

                 。

         ∵对任意n∈N^*，，∴，

         所以不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立。