Question

20．已知A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}．
（1）求（A∪B）∩C的元素个数为2的充要条件；
（2）求（A∪B）∩C的元素个数为3的充要条件．

Answer 1

分析 （1）结合充要条件的定义，作出集合A，B的图象，利用（A∪B）∩C为两个元素的集合，说明①直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1各有一个交点且不重合，②直线ax+y=1和x+ay=1重合，且与圆x²+y²=1有两个不同的交点，求实数a即可；
（2）结合充要条件的定义，若（A∪B）∩C为含三个元素的集合，a≠0，a≠1．直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆x²+y²=1上，且两直线与圆还各有一个交点，利用对称性求出实数a即可．

解答 解：（1）若（A∪B）∩C含两个元素
①直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1各有一个交点且不重合，则满足条件，此时a=0，如图（1）所示
②直线ax+y=1和x+ay=1重合，且与圆x²+y²=1有两个不同的交点，则满足条件，此时a=1，如图（2）所示
综上，a=0或a=1时，（A∪B）∩C为含两个元素的集合，
反之也成立，
即（A∪B）∩C的元素个数为2的充要条件是a=0或a=1．
（2）（A∪B）∩C含三个元素
显然a≠0，a≠1．
直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆x²+y²=1上，且两直线与圆还各有一个交点
∵直线ax+y=1和x+ay=1关于直线y=x对称
∴三个交点为（0，1），（1，0），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，1），（1，0），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
如图（3）（4）所示
此时a=-1±$\sqrt{2}$．
反之也成立，
即（A∪B）∩C的元素个数为3的充要条件是a=-1±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查充要条件的求解，子集、并集、交集的转换，考查数形结合，分类讨论的思想，转化思想的应用，作出图形，是解好本题的前提，是中档题．