题目内容

10.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足${S_n}=\frac{1}{2}(1-{a_n})$.
(1)求数列{an}的通项公式并证明${S_n}<\frac{1}{2}$;
(2)设函数$f(x)={log_{\frac{1}{3}}}x$,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}$.求Tn.

分析 (1)由当n≥2时,Sn-1=$\frac{1}{2}$(1-an-1),an=Sn-Sn-1,整理得:2an=-an+an-1,$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$,当n=1时,${a_1}=\frac{1}{3}$,数列{an}是首项${a_1}=\frac{1}{3}$,公比为$\frac{1}{3}$的等比数列,即可求得${a_n}=\frac{1}{3}×{(\frac{1}{3})^{n-1}}={(\frac{1}{3})^n}$,由等比数列前n项和公式可知:${S_n}=\frac{{\frac{1}{3}[{1-{{(\frac{1}{3})}^n}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}[{1-{{(\frac{1}{3})}^n}}]$,由$1-{(\frac{1}{3})^n}<1$,则$\frac{1}{2}[{1-{{(\frac{1}{3})}^n}}]<\frac{1}{2}$,即可证明${S_n}<\frac{1}{2}$;
(2)${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{3}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}({a_1}{a_2}…{a_n})$=${log_{\frac{1}{3}}}{(\frac{1}{3})^{1+2+…+n}}$=$1+2+…+n=\frac{n(1+n)}{2}$,则$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n(1+n)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,采用“裂项法”即可求得Tn.

解答 解:(1)当n≥2时,Sn-1=$\frac{1}{2}$(1-an-1),an=Sn-Sn-1,
∴${a_n}=\frac{1}{2}(1-{a_n})-\frac{1}{2}(1-{a_{n-1}})$=$-\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}{a_{n-1}}$,整理得:2an=-an+an-1,
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$,
当n=1时,
${S_1}={a_1}=\frac{1}{2}(1-{a_1})$,解得:${a_1}=\frac{1}{3}$,
∴数列{an}是首项${a_1}=\frac{1}{3}$,公比为$\frac{1}{3}$的等比数列,
∴${a_n}=\frac{1}{3}×{(\frac{1}{3})^{n-1}}={(\frac{1}{3})^n}$,
证明:由等比数列前n项公式可知:${S_n}=\frac{{\frac{1}{3}[{1-{{(\frac{1}{3})}^n}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}[{1-{{(\frac{1}{3})}^n}}]$,
∵$1-{(\frac{1}{3})^n}<1$,
∴$\frac{1}{2}[{1-{{(\frac{1}{3})}^n}}]<\frac{1}{2}$,
∴${S_n}<\frac{1}{2}$.
(2)∵$f(x)={log_{\frac{1}{3}}}x$,
∴${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{3}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}({a_1}{a_2}…{a_n})$=${log_{\frac{1}{3}}}{(\frac{1}{3})^{1+2+…+n}}$,
=$1+2+…+n=\frac{n(1+n)}{2}$.
∵$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n(1+n)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=2[{(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}]=\frac{2n}{n+1}$,
∴Tn=$\frac{2n}{n+1}$.

点评 本题考查等比数列前n项和公式的应用,求等差数数列的前n项和,考查“裂项法”求数列的前n项和,考查计算能力,属于中档题.

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