Question

已知(

x

+

2

x

)n展开式中的所有二项式系数和为512．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数之和．

Answer 1

分析：（1）利用展开式中的所有二项式系数和为512，先求出n，然后利用二项展开式的通项公式求常数项．
（2）令x=1，即可得到展开式中所有项的系数之和．

解答：解：（1）∵展开式中的所有二项式系数和为512．
∴2ⁿ=512，解得n=9．
则第r+1项为通项公式为：Tr+1=

C

r 9

(

x

)9-r(

2

x

)r=2r

C

r 9

x

9

2

-

3

2

r，（r=0，1，2，…，9）
令

9

2

-

3

2

r=0得r=3．
故常数项为T4=23

C

3 9

=672．
（2）令x=1，得系数和为（1+2）⁹=3⁹．

点评：本题主要考查二项展开式定理的应用，利用换元法将多项式转化为我们熟悉的多项式形式是解决本题的关键．