Question

已知(

x

+

2

x

)n的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中x²的系数

 

．

Answer 1

分析：根据题意，首先写出(

x

+

2

x

)n的展开式，进而根据其展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，可得

C 4 n ×24

C 2 n ×22

=

56

3

，
化简并解可得n的值，即可得出(

x

+

2

x

)n的展开式，结合其展开式，可得

1

2

(10-k)-k=2，解可得k的值，代入可得答案．

解答：解：根据题意，(

x

+

2

x

)n的展开式为T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r（

2

x

）^r=C_n^r（2）^rx

n-3r

2

，
又有其展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，可得

C 4 n ×24

C 2 n ×22

=

56

3

，
即（n-2）（n-3）=56，
解可得，n=10，
则Tk+1=

C

k 10

x

1

2

(10-k)-k×2k，
由

1

2

(10-k)-k=2得k=2，
从而C₁₀²×2²=180；
故答案为：180．

点评：本题考查二项式系数的性质，注意把握x的系数与二项式系数的区别．