Question

如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方形，且所在平面垂直于平面ABC．

（Ⅰ）证明：平面ADE∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角D－AE－F的正切值．

Answer 1

(1)利用线面平行的判定定理来证明平行即可。
（2）

试题分析：解：（Ⅰ）取的中点，

的中点，连接.
则，又平面平面，
所以平面，同理平面，
所以又易得，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以平面平面.                （6分）
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,,，，

，.
设平面的一个法向量是，则
，
令，得.                        （9分）
设平面的一个法向量是，则
令，得.
所以，
易知二面角为锐二面角，故其余弦值为，
所以二面角的正切值为.                （12分）
点评：主要是考查了空间几何体中线面平行的证明，以及二面角的平面角的求解的综合运用，属于中档题。