题目内容
已知函数f(x)＝a－
.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－
，
设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0.
f(x1)－f(x2)＝(a－
)－(a－
)＝－
＝
<0.
∴f(x1)<f(x2)，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围为(－∞，3]．
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