Question

设椭圆

x2

6

+

y2

2

=1和双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则∠F₁PF₂的值为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆与双曲线的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2

6

，|PF₁|-|PF₂|=2

2

，由此得到|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，从而求出∠F₁PF₂．

解答： 解：根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=2

6

…①
由双曲线的定义，可得||PF₁|-|PF₂||=2a'=2

2

…②
①②联解，得|PF₁|²+|PF₂|²=16，
又∵点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，
∴|F₁F₂|=2×2=4，可得|F₁F₂|²=16，
∴△F₁PF₂中，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
∴∠F₁PF₂=

π

2

故选：D．

点评：本题在双曲线与椭圆中，求∠F₁PF₂的值．着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程和勾股定理解三角形等知识，属于中档题．