Question

设函数f（x）是定义域为R的函数，有下列命题：
①对任意x∈R，f（x+1）=f（1-x）成立，那么函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
②对任意x∈R，f（x）+f（1-x）=2成立，那么函数f（x）的图象关于点（1，1）对称；
③对任意x∈R，f（x）+f（x+1）=0成立，那么函数f（x）是周期为2的周期函数；
④对任意x∈R，f（1-x）+f（x-1）=0成立，那么函数f（x）是奇函数．
其中正确的命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析：题目给出的四个命题都是对函数性质的应用，在给出的四个命题中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案．

解答：解：①对任意x∈R，f（x+1）=f（1-x）成立，说明在直线x=1左右两侧取等距离两点的自变量的值时对应的函数值相等，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，①正确；
②若函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，把该函数图象向左向下各平移一个单位得函数y=f（x+1）-1，则此函数为奇函数，所以f（-x+1）-1=-f（x+1）+1，所以f（1-x）+f（1+x）=2，
与给出的等式矛盾，所以②不正确；
③由f（x）+f（x+1）=0，取x=x+1得：f（x+1）+f（x+2）=0，两式作差得f（x）=f（x+2），所以函数是以2为周期的周期函数，③正确；
④由f（1-x）+f（x-1）=0，取x=1+x得：f（-x）+f（x）=0，所以f（-x）=-f（x），所以函数f（x）为奇函数，④正确．
故答案为①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，解答的关键是对变量x灵活赋值和变形，是易错题．