Question

1．若以数列{a_n}中相邻的三项a_k，a_k+1，a_k+2（k∈N^*）为三边长能构成三角形，则称这个三角形为a_k的“伴生三角形”．
（Ⅰ）若公差为2的等差数列{a_n}的每一项a_n都有“伴生三角形”，求首项a₁的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的数列{a_n}的“伴生三角形”中存在直角三角形，求首项a₁的所有可能取值．

Answer 1

分析 （I）．由已知可得：a_n=2n+a₁-2⇒a_n＜a_n+1＜a_n+2，…，依此类推即可得出；
（II）．由（I）可知a₁＞2，a_n=2n+a₁-2，利用{a_n}的“伴生三角形”中存在直角三角形及其勾股定理、数列通项公式即可得出．

解答 解：（I）．由已知，a_n=2n+a₁-2⇒a_n＜a_n+1＜a_n+2，
故有a_n+a_n+1＞a_n+2⇒a_n＞a_n+2-a_n+1=2⇒a₁＞4-2n（恒成立）．
∴a₁＞2．
（II）．由（I）可知a₁＞2，a_n=2n+a₁-2，
∵{a_n}的“伴生三角形”中存在直角三角形，∴$a_n^2+a_{n+1}^2=a_{n+2}^2⇒a_n^2=（{{a_{n+2}}-{a_{n+1}}}）（{{a_{n+2}}+{a_{n+1}}}）$，
故${（2n+{a_1}-2）^2}=2（4n+2{a_1}+2）$$4{n^2}+（4{a_1}-16）n+{a_1}^2-8{a_1}=0$，化为（2n+a₁）（2n+a₁-8）=0，
∵a₁＞2，∴a₁=8-2n，∴n=1，2a₁=6或a₁=4．
∴首项a₁的所有可能取值是6或4．

点评 本题考查了新定义“伴生三角形”、勾股定理、数列通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．