Question

（本题满分16分）

设函数.

（Ⅰ） 判断在区间上的增减性并证明之；

（Ⅱ） 若不等式≤≤对恒成立, 求实数的取值范围M；

（Ⅲ）设≤≤，且，求证：≥.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵  ∴…1分

    设 则  ……2分

∴在上为减函数  又    时，，

∴ ∴在上是减函数                        ………4分

(Ⅱ)∵ ∴或时

 ∴…………………………6分

又≤≤对一切恒成立 ，∴≤≤      ……………8分

（Ⅲ）显然当或时，不等式成立              ………………………10分

当，原不等式等价于≥ ………11分

下面证明一个更强的不等式：≥…①

即≥……②亦即≥ ……………………13分

由(1) 知在上是减函数   又  ∴

∴不等式②成立，从而①成立  又

∴＞

综上有≤≤且≤≤时，原不等式成立     …………………………16分