Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点 ．
（1）求椭圆C的离心率：
（2）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 ，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点 ．

∴c=1，2a=PF1+PF2= =2 ，即a=

∴椭圆的离心率e= = =

（2）解：由（1）知，椭圆C的方程为 ，设点Q的坐标为（x，y）

（I）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2± ）

（II）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则

， ，又|AQ|2=（1+k2）x2，

∴ ，即 = …①

将y=kx+2代入 中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②

由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞

由②知x1+x2=﹣ ，x1x2= ，代入①中化简得x2= …③

因为点Q在直线y=kx+2上，所以k= ，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18

由③及k2＞ 可知0＜x2＜ ，即x∈（﹣ ，0）∪（0， ）

由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，

又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈（ ， ）且﹣1≤y≤1，则y∈[ ，2﹣ ]

综上得，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣ ， ），y∈[ ，2﹣ ]

【解析】（1）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；（2）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出 ，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程．