Question

（08年重庆一中一模理）在中，，分别为边上的点，且。沿将折起（记为），使二面角为直二面角。⑴当点在何处时，的长度最小，并求出最小值；⑵当的长度最小时，求直线与平面所成的角的大小；⑶当的长度最小时，求三棱锥的内切球的半径。

Answer 1

解析:

，所以即为直线与平面所成的角。因为，所以即为所求；

⑶因，又，所以。又，故三棱锥的表面积为。因为三棱锥的体积，所以。

法二：⑴因，故。设，则。所以，当且仅当取等号。此时为边的中点。故当为的中点时，的长度最小，其值为；

⑵因，又，所以。记点到平面的距离为，因，故，解得。因，故；

⑶同“法一”。

法三：⑴如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，所以，当且仅当取等号。此时为边的中点，为边的中点。故当为边的中点时，的长度最小，其值为；

⑵设为面的法向量，因，故。

取，得。又因，故。因此，从而，所以；

⑶由题意可设为三棱锥的内切球球心，则，可得。与⑵同法可得平面的一个法向量，又，故，解得。显然，故。