Question

设f（x）是定义在R上的周期函数，周期为T=4，对x∈R都有f（-x）=f（x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=(

1

2

)x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、(1，

  3	4

  )
• D、(

  3	4

  ，2)

Answer 1

考点：对数的运算性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得f（x+4）=

10

f(x+2)

=f（x），函数f（x）是一个周期4的偶函数，函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，从而log_a4＜3，且log_a8＞3，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：∵对于任意的x∈R，都有f（x）•f（x+2）=10，
∴f（x+4）=

10

f(x+2)

=f（x）
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
∵对x∈R都有f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，
在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
∴函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，
如右图所示：
又f（-2）=f（2）=3，
则有 log_a4＜3，且log_a8＞3，
解得：

3	4

＜a＜2，
故a的取值范围是（

3	4

，2）．
故选：D．

点评：本题考查实数的取值范围，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．