Question

【题目】如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形, ,平面与平面垂直，且.

（1）求证： 平面；

（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【解析】试题分析：（1）推导出CB⊥BE，从而CB⊥面BDE，进而CB⊥ED，再由ED⊥AD，能证明ED⊥平面ABCD；
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得，即得

试题解析：

（1)证明：因为平面与平面垂直

且，平面与平面的交线为

所以面，

又面

所以，

在矩形中，

又四边形为梯形， 所以与相交，

故平面

（2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如图，以为坐标原点， 分别为轴建立空间坐标系

又，所以，

设

则

设平面的法向量为

，令，则

所以平面的法向量为

易知，平面的法向量为，

因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，

即，解得，即