题目内容
【题目】如图,在斜三棱柱中,底面
为正三角形,面
⊥面
,
,
.
(1)求异面直线与
所成角的余弦值;
(2)设为
的中点,求面
与面
所成角的正弦值.
【答案】(1)与
所成角的余弦值为0. (2)
【解析】试题分析:(1)可设,取
的中点
,连接
,先证明
,再由面面垂直的性质可得
,因此
两两互相垂直.以
为坐标原点,
为正交基底,建立空间直角坐标系
,分别求出
,
,可得
,从而得异面直线
与
所成角的余弦值;(2)利用向量垂直数量积为零列方程组,分别求出平面
的一个法向量与平面
的一个法向量,利用空间向量夹角的余弦公式可得面
与面
所成角的余弦值,进而可得正弦值.
试题解析:不妨设,取
的中点
,连接
,
因为底面为正三角形,则
,且
,
因为,所以
,
又因为 面面
,面
面
,
面
,
所以,因此
两两互相垂直.以
为坐标原点,
为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
(1)由已知得,
,
又,即
,所以
,
所以与
所成角的余弦值为0.
(2)由已知得,
,设平面
的法向量
则,即
,令
,则
即平面一个法向量
;
又,
,设平面
的法向量
,则
,即
,令
,则
即平面一个法向量
;
又,记面
与面
所成的角为
,
,则
,所以
与面
所成角的正弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角,利用空间向量求异面直线所成的角,属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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