Question

【题目】如图,在斜三棱柱中,底面为正三角形,面⊥面, ,

.

(1)求异面直线与所成角的余弦值;

(2)设为的中点,求面与面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）与所成角的余弦值为0. （2）

【解析】试题分析：（1）可设，取的中点，连接，先证明，再由面面垂直的性质可得，因此两两互相垂直．以为坐标原点， 为正交基底，建立空间直角坐标系，分别求出， ，可得，从而得异面直线与所成角的余弦值；（2）利用向量垂直数量积为零列方程组，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角的余弦公式可得面与面所成角的余弦值，进而可得正弦值.

试题解析：不妨设，取的中点，连接，

因为底面为正三角形，则，且，

因为，所以，

又因为 面面，面面 ， 面，

所以，因此两两互相垂直．以为坐标原点， 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

，

（1）由已知得， ，

又，即，所以，

所以与所成角的余弦值为0.

（2）由已知得， ，设平面的法向量

则，即，令，则

即平面一个法向量；

又， ，设平面的法向量，则

，即，令，则

即平面一个法向量；

又，记面与面所成的角为， ，则

，所以

所以，面与面所成角的正弦值为 .

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角，利用空间向量求异面直线所成的角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.