Question

20．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②⑤（写出所有正确命题的编号）．
①当$0＜CQ＜\frac{1}{2}$时，S为四边形    
②当$CQ=\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形
③当$CQ=\frac{3}{4}$时，S与C₁D₁的交点R满足${C_1}{R_1}=\frac{1}{4}$
④当$\frac{3}{4}＜CQ＜1$时，S为六边形    
⑤当CQ=1时，S的面积为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 过点A，P，Q的平面必与面ADA₁，BC₁C相交，且交线平行，据此，当Q为C₁C中点时，截面与面ADD₁交与AD₁，为等腰梯形，据此可以对①②进行判断；
连接AP，延长交DC于一点M，再连接MQ并延长其交D₁D于N，连接AN，可见，截面此时不会与面ABB₁相交，据此判断③，
当CQ=1时，截面为底为 $\sqrt{2}$，腰长为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$的等腰梯形，由此可求其面积．判断④．
求出面积判断⑤的正误．

解答 解：连接AP并延长交DC于M，再连接MQ，
对于①，当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，MQ的延长线交线段D₁D与点N，且N在D₁与D之间，连接AN，则截面为四边形APQN；①正确；
当CQ=$\frac{1}{2}$时，即Q为CC₁中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=$\frac{3}{4}$时，如图，
延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故③不正确；
④由③可知当$\frac{3}{4}$＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连接AF，可证PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面为APC₁F为菱形，故其面积为$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故正确．
故答案为：①②⑤

点评 此题考查了截面的性质，关键是利用面面平行、面面相交的性质确定截面的顶点．