Question

如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点)，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

(1)；(2).

【解析】

试题分析：（1）将点代入椭圆的方程得到，结合离心率且，即可求解出，进而写出椭圆的标准方程即可；（2）依题意知，直线的斜率存在，先设直线的方程为，并设，联立直线的方程与椭圆的方程，消去得到，根据二次方程根与系数的关系得到，由直线及的方程确定点的坐标（含），进而得到，

进而整理出（注意关注并应用共线得到），从而可确定的取值.

试题解析：(1)由在椭圆上得， ①
依题设知，则 ②
②代入①解得
故椭圆的方程为
(2)由题意可设的斜率为， 则直线的方程为 ③
代入椭圆方程并整理
得
设，则有 ④
在方程③中令得，的坐标为
从而
注意到共线，则有，即有
所以
⑤
④代入⑤得
又，所以.故存在常数符合题意.
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.