Question

7．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点．
（1）求证：DM∥平面ABC；
（2）求证：CM⊥DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中点N，连接MN，BN，利用三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质定理可得DM∥BN，再利用线面平行的判定定理可得：DM∥平面ABC．
（Ⅱ）先证明DM⊥平面ACE，从而证出CM⊥平面ADE，进而证出CM⊥DE．

解答 证明：（Ⅰ）如图示：取AC的中点N，连接MN，BN
∵M是AE的中点，∴MN∥CE，CE=2MN，
∵CE∥BD，CE=2BD，
∴MN∥BD，MN=BD
∴四边形BDMN为平行四边形，
∴DM∥BN，DM?平面ABC，BN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（Ⅱ）∵BN⊥AC，BN⊥MN，AC∩MN=N，
∴BN⊥平面ACE，
∵DM∥BN，∴DM平面ACE，
∴CM⊥DM，而CM⊥AE，DM∩AE=M，
∴CM⊥平面ADE，
∴CM⊥DE．

点评 本题考查了线面平行的判定定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．