Question

已知函数，在轴上的截距为，在区间上单调递增，在上单调递减，又当时取得极小值.

（1）求函数的解析式；

（2）能否找到函数垂直于轴的对称轴，并证明你的结论；

（3）设使关于的方程恰有三个不同实根的实数的取值范围为集合，且两个非零实根为,试问：是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）关于对称；（3）不存在满足题意的实数.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，，；（2）假设存在关于直线对称，取点关于直线对称的点为：必在上，带入计算求得的值，故存在真样的对称直线；（Ⅲ）首先为其一个零点，消去，得到有关另两个零点的二次函数式，利用韦达定理，解得和,利用，进而求得集合,恒成立问题，即为求最值问题，得到关于的不等式，解得无解，所以符合题中条件的不存在.

试题解析：（1）易知

又

由，得

令，得

由，得

由①②得

（2）若关于直线对称（显然），

则取点关于直线对称的点必在上，

即，得

又

验证，满足

（也可直接证明，计算较繁琐；）

（3）由（1）知，，

即

又为其一根，得

且

故

又，得，

，故且 ,

’

即只需

设

无解

即不存在满足题意的实数.

考点：1.函数的极值；2.函数的对称轴；3.函数恒成立问题.