Question

5．已知函数f（x）=kx²+（k+1）x．
（1）当k=1时，解不等式f（x）＜0；
（2）当k≠0时，二次函数f（x）的对称轴在直线x=1的左侧，求k的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）由二次不等式的解法，即可得到；
（2）求得对称轴方程，由题意可得-$\frac{k+1}{2k}$＜1，由分式不等式的解法即可得到；
（3）对k讨论，当k=0，k＞0，k=-1，k＜-1，-1＜k＜0，运用二次不等式的解法即可得到解集．

解答 解：（1）f（x）＜0即为
x²+2x＜0，解得-2＜x＜0．
则解集为（-2，0）；
（2）f（x）=kx²+（k+1）x的对称轴为x=-$\frac{k+1}{2k}$，
由题意可得-$\frac{k+1}{2k}$＜1，
即为$\frac{3k+1}{2k}$＞0，
解得k＞0或k＜-$\frac{1}{3}$，
即k的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（0，+∞）；
（3）不等式f（x）＜0即为x（kx+k+1）＜0，
①当k=0时，不等式即为x＜0，解集为（-∞，0）；
②当k＞0时，不等式即为x（x+$\frac{k+1}{k}$）＜0，
即有-$\frac{k+1}{k}$＜x＜0，解集为（-$\frac{k+1}{k}$，0）；
③当k=-1时，不等式即为x²＞0，即有解集为（-∞，0）∪（0，+∞）；
④当k＜-1时，-$\frac{k+1}{k}$＜0，不等式即为x（x+$\frac{k+1}{k}$）＞0，
即有x＜-$\frac{k+1}{k}$或x＞0，解集为（-∞，-$\frac{k+1}{k}$）∪（0，+∞）；
⑤当-1＜k＜0时，-$\frac{k+1}{k}$＞0，不等式即为x（x+$\frac{k+1}{k}$）＞0，
即有x＞-$\frac{k+1}{k}$或x＜0，解集为（-∞，0）∪（-$\frac{k+1}{k}$，+∞）．

点评 本题考查二次函数的应用，考查二次不等式和分式不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法是解题的关键．