Question

【题目】已知椭圆过点且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在这样的直线，直线方程为：.

【解析】

（1）根据已知条件利用及即可求得椭圆的方程；

（2）根据，利用向量坐标化可得，再分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得直线的方程．

解：（1）由已知点代入椭圆方程得

由得可转化为

由以上两式解得

所以椭圆C的方程为：.

（2）存在这样的直线.

当l的斜率不存在时，显然不满足,

所以设所求直线方程代入椭圆方程化简得：

① .②

,

设所求直线与椭圆相交两点

由已知条件可得,③

综合上述①②③式子可解得符合题意,

所以所求直线方程为：.