Question

如图5，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ÐDAB=60°. 侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.

（1）求证：BG^平面PAD；

（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；

（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF^平面ABCD，并证明你的结论.

Answer 1

（1）证明：连结BD.

因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以DABD为正三角形.             

又G为AD的中点，所以BG⊥AD.                                   

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，                

∴BG⊥平面PAD.                                                 

解：（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.

∵PGÌ平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD两两垂直.            （5分）

故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

，

，            （6分）

所以，， ， ，

                               

设平面PCD的法向量为， 即  

令，则                      

又平面PBG的法向量可为，                           

设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则

∴

即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.      

（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.                  

取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.

因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，

故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH//PG.                 

由（2），得PG^平面ABCD，所以FH^平面ABCD.                  （

又FHÌ平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.